2次関数 $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答える問題です。 (i) 2次関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めます。 (ii) 区間 $-5 \le x \le 1$ における最小値と、区間 $-5 \le x < 1$ における最小値を求め、選択肢から選びます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答える問題です。

(i) 2次関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めます。

(ii) 区間 $-5 \le x \le 1$ における最小値と、区間 $-5 \le x < 1$ における最小値を求め、選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(i) 2次関数を平方完成します。

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 3 - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 2$

よって、$x = -3$ のとき、最大値 $2$ をとります。

(ii)

区間 $-5 \le x \le 1$ における最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = -3$ で、この区間内にあります。

したがって、$x = -5$ または $x = 1$ で最小値をとります。

$x = -5$ のとき、$y = -\frac{1}{3}(-5+3)^2 + 2 = -\frac{1}{3}(4) + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$

$x = 1$ のとき、$y = -\frac{1}{3}(1+3)^2 + 2 = -\frac{1}{3}(16) + 2 = -\frac{16}{3} + 2 = -\frac{10}{3}$

したがって、区間 $-5 \le x \le 1$ における最小値は $-\frac{10}{3}$ (選択肢2) です。

区間 $-5 \le x < 1$ における最小値を考えます。

$x = 1$ を含まないため、$x$ が 1 に限りなく近づくときを考えます。

このとき $y$ は $-\frac{10}{3}$ に限りなく近づきますが、$x<1$ なので $y = -\frac{10}{3}$ にはなりません。

したがって、区間 $-5 \le x < 1$ における最小値は「ない」(選択肢3) です。

3. 最終的な答え

アイ: -3

ウ: 2

エ: 2

オ: 3