3. 二次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を求め、その解が $n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n+1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。 4. 二次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の二つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 5. 二次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める。 6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ の解を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3. 二次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を求め、その解が $n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n+1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。

4. 二次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の二つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

5. 二次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める。

6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ の解を求める。

2. 解き方の手順

3. 二次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ を解く。

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、 $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ について、$2 < \sqrt{5} < 3$ より、 $5 < 3 + \sqrt{5} < 6$ なので、 $\frac{5}{2} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$ 。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.236}{2} \approx \frac{5.236}{2} \approx 2.618$ 。

したがって、$n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n+1$ を満たす整数 $n$ は $2$ である。

4. 二次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の二つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、解と係数の関係を利用する。

解の和： $3 + (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} = -\frac{b}{a}$

解の積： $3 \times (-\frac{2}{3}) = -2 = \frac{-6}{a}$

よって、$a = 3$ 。

$-\frac{b}{3} = \frac{7}{3}$ より、$b = -7$ 。

5. 二次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、解の公式より

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$

したがって、 $\alpha = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \beta = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$ 。

不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ を解く。

$\alpha x - \beta x \leq \alpha + \beta$

$(\alpha - \beta)x \leq \alpha + \beta$

$\alpha - \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} - \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-2 - \sqrt{10} + 2 - \sqrt{10}}{2} = \frac{-2\sqrt{10}}{2} = -\sqrt{10}$

$\alpha + \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} + \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-2 - \sqrt{10} - 2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$-\sqrt{10}x \leq -2$

$x \geq \frac{-2}{-\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ を解く。

$-5 < 1 - 4x < 5$

$-6 < -4x < 4$

$-4 < 4x < 6$

$-1 < x < \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

4. シ: 3, ス: 5, セ: 2, ソ: 2

5. タ: 3, チツ: -7

6. テ: ①, トナ: 10, ニ: 5

7. ヌネ: -1, ハ: 3/2