複素数 $(-1 + i)^{-11}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $(-1 + i)^{-11}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $-1 + i$ を極形式で表します。

$-1 + i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}, \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、

$-1 + i = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}}$

これより、

$(-1 + i)^{-11} = (\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}})^{-11} = (\sqrt{2})^{-11} e^{-i \frac{33\pi}{4}}$

$(\sqrt{2})^{-11} = (2^{\frac{1}{2}})^{-11} = 2^{-\frac{11}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{11}{2}}} = \frac{1}{2^5 \sqrt{2}} = \frac{1}{32 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{64}$

また、$e^{-i \frac{33\pi}{4}} = \cos (-\frac{33\pi}{4}) + i \sin (-\frac{33\pi}{4})$

$-\frac{33\pi}{4} = -\frac{32\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -8\pi - \frac{\pi}{4}$ なので、$-\frac{33\pi}{4}$ は $-\frac{\pi}{4}$ と同じ位置になります。

よって、

$\cos (-\frac{33\pi}{4}) = \cos (-\frac{\pi}{4}) = \cos (\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (-\frac{33\pi}{4}) = \sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin (\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$e^{-i \frac{33\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$(-1 + i)^{-11} = \frac{\sqrt{2}}{64} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{64} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = \frac{2}{128} (1 - i) = \frac{1}{64}(1 - i) = \frac{1}{64} - \frac{1}{64} i$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{64} - \frac{1}{64} i$