(4)* 関数 $y = -2x^2 - 4x - 3$ の最大値を求めよ。 (6)* 関数 $y = -2x^2 + 3x - 1$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(4)* 関数 $y = -2x^2 - 4x - 3$ の最大値を求めよ。

(6)* 関数 $y = -2x^2 + 3x - 1$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(4)*

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x - 3$

$y = -2(x^2 + 2x) - 3$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = -2((x+1)^2 - 1) - 3$

$y = -2(x+1)^2 + 2 - 3$

$y = -2(x+1)^2 - 1$

この式から、最大値は $x = -1$ のとき $y = -1$ となります。なぜなら、$(x+1)^2$ は常に0以上であり、$-2(x+1)^2$ は常に0以下だからです。したがって、$y = -2(x+1)^2 - 1$ は $x=-1$ のとき最大値$-1$をとります。

(6)*

同様に、与えられた関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 3x - 1$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - 1$

$y = -2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - 1$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - 1$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

この式から、最大値は $x = \frac{3}{4}$ のとき $y = \frac{1}{8}$ となります。なぜなら、$(x - \frac{3}{4})^2$ は常に0以上であり、$-2(x - \frac{3}{4})^2$ は常に0以下だからです。したがって、$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$ は $x=\frac{3}{4}$ のとき最大値$\frac{1}{8}$をとります。

3. 最終的な答え

(4)* $x = -1$ で最大値 $-1$

(6)* $x = \frac{3}{4}$ で最大値 $\frac{1}{8}$