与えられた4つの二次関数について、グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ (2) $y = 2x^2 + 4x + 3$ (3) $y = -2x^2 - 6x - 3$ (4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3$

(3) $y = -2x^2 - 6x - 3$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$

2. 解き方の手順

二次関数を平方完成の形に変形する。

$y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形すると、軸は $x = p$ であり、頂点の座標は $(p, q)$ となる。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

$y = (x^2 - 4x) + 3$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

軸: $x = 2$, 頂点: $(2, -1)$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3$

$y = 2(x^2 + 2x) + 3$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + 3$

$y = 2(x + 1)^2 + 1$

軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 1)$

(3) $y = -2x^2 - 6x - 3$

$y = -2(x^2 + 3x) - 3$

$y = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 3$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 3$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$

軸: $x = -\frac{3}{2}$, 頂点: $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 5$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 5$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4) + 5$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2 + 5$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 3$

軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 3)$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, -1)$

(2) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 1)$

(3) 軸: $x = -\frac{3}{2}$, 頂点: $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

(4) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 3)$