複素数の割り算を計算する問題です。具体的には、(1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ と (2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$ を計算します。指示としてオイラーの公式を用いることが指定されています。

1. 問題の内容

複素数の割り算を計算する問題です。具体的には、(1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ と (2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$ を計算します。指示としてオイラーの公式を用いることが指定されています。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$

まず、分子と分母を極形式で表します。

* 分子: $-2+2i$

絶対値 $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta_1 = \arctan(\frac{2}{-2}) = \arctan(-1)$. $(-2, 2)$ は第2象限にあるので、$\theta_1 = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

* 分母: $-1+\sqrt{3}i$

絶対値 $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_2 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{-1}) = \arctan(-\sqrt{3})$. $(-1, \sqrt{3})$ は第2象限にあるので、$\theta_2 = \frac{2\pi}{3}$

したがって、$-1+\sqrt{3}i = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

割り算を行うと、

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}{2e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \sqrt{2}e^{i(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2}e^{i(\frac{9\pi - 8\pi}{12})} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$

実部と虚部に直すと、

$\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$

ここで$\cos(\frac{\pi}{12})$と$\sin(\frac{\pi}{12})$の値を求めます。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$なので、

$\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、

$\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{2\sqrt{3} - 2}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

(2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$

まず、分子と分母を極形式で表します。

* 分子: $-\sqrt{3}+i$

絶対値 $r_1 = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_1 = \arctan(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$. $(-\sqrt{3}, 1)$ は第2象限にあるので、$\theta_1 = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$-\sqrt{3}+i = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$

* 分母: $-2+2i$

絶対値 $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta_2 = \arctan(\frac{2}{-2}) = \arctan(-1)$. $(-2, 2)$ は第2象限にあるので、$\theta_2 = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

割り算を行うと、

$\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i} = \frac{2e^{i\frac{5\pi}{6}}}{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i(\frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i(\frac{10\pi - 9\pi}{12})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{12}}$

実部と虚部に直すと、

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$

$\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

(2) $\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$