関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ の定義域が与えられた範囲であるとき、各範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $0 \le x \le 2$ (2) $-2 \le x \le 1$ (3) $-4 \le x \le -3$ (4) $-2 \le x \le 0$

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ の定義域が与えられた範囲であるとき、各範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $0 \le x \le 2$

(2) $-2 \le x \le 1$

(3) $-4 \le x \le -3$

(4) $-2 \le x \le 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

したがって、$y = -(x+1)^2 + 2$ となります。

この関数は、上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

次に、各範囲について最大値と最小値を求めます。

(1) $0 \le x \le 2$ の場合:

頂点の $x$ 座標である $x = -1$ はこの範囲に含まれていないので、範囲の端の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

よって、最大値は $1$ ($x=0$ のとき)、最小値は $-7$ ($x=2$ のとき) です。

(2) $-2 \le x \le 1$ の場合:

頂点の $x$ 座標である $x = -1$ はこの範囲に含まれています。

したがって、$x = -1$ のとき、最大値は $y = 2$ です。

範囲の端の値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、最大値は $2$ ($x=-1$ のとき)、最小値は $-2$ ($x=1$ のとき) です。

(3) $-4 \le x \le -3$ の場合:

頂点の $x$ 座標である $x = -1$ はこの範囲に含まれていません。

範囲の端の値を調べます。

$x = -4$ のとき、$y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

$x = -3$ のとき、$y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、最大値は $-2$ ($x=-3$ のとき)、最小値は $-7$ ($x=-4$ のとき) です。

(4) $-2 \le x \le 0$ の場合:

頂点の $x$ 座標である $x = -1$ はこの範囲に含まれています。

したがって、$x = -1$ のとき、最大値は $y = 2$ です。

範囲の端の値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 0$ のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

したがって、最大値は $2$ ($x=-1$ のとき)、最小値は $1$ ($x=-2$ および $x=0$ のとき) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 1 ($x=0$ のとき), 最小値: -7 ($x=2$ のとき)

(2) 最大値: 2 ($x=-1$ のとき), 最小値: -2 ($x=1$ のとき)

(3) 最大値: -2 ($x=-3$ のとき), 最小値: -7 ($x=-4$ のとき)

(4) 最大値: 2 ($x=-1$ のとき), 最小値: 1 ($x=-2, 0$ のとき)