与えられた複素数の割り算を計算します。 (1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ (2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算を計算します。

(1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$

(2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の共役複素数をかけて、分母を実数にします。分母の共役複素数は $-1-\sqrt{3}i$ です。

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)}$

$= \frac{2 + 2\sqrt{3}i - 2i - 2\sqrt{3}i^2}{1 - (\sqrt{3}i)^2}$

$= \frac{2 + 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3} - 2)i}{1+3}$

$= \frac{2(1+\sqrt{3}) + 2(\sqrt{3}-1)i}{4}$

$= \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$

(2) 分母の共役複素数をかけて、分母を実数にします。分母の共役複素数は $-2-2i$ です。

$\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i} = \frac{(-\sqrt{3}+i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)}$

$= \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i -2i -2i^2}{4 - (2i)^2}$

$= \frac{2\sqrt{3}+2 + (2\sqrt{3}-2)i}{4+4}$

$= \frac{2(\sqrt{3}+1) + 2(\sqrt{3}-1)i}{8}$

$= \frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$

(2) $\frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i$