複素数 $-1+i$ の10乗を計算する問題です。つまり、 $(-1+i)^{10}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数 $-1+i$ の10乗を計算する問題です。つまり、 $(-1+i)^{10}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $-1+i$ を極形式で表します。

$-1+i$ の絶対値は $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす必要があります。したがって、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ となります。

よって、$-1+i$ は極形式で $\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$ と表せます。

ド・モアブルの定理より、

$(-1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} (\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot 10) + i\sin(\frac{3\pi}{4}\cdot 10))$

$= 2^5 (\cos(\frac{15\pi}{2}) + i\sin(\frac{15\pi}{2}))$

$= 32 (\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$

$= 32 (0 + i(-1))$

$= 32(-i)$

$=-32i$

3. 最終的な答え

$-32i$