2次関数 $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答えます。 (i) この2次関数は、 $x$ がいくつのときに最大値をとるか、またその最大値はいくらか。 (ii) $-5 \le x \le 1$ における最小値は何か。選択肢の中から選びます。 (iii) $-5 \le x < 1$ における最小値は何か。選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答えます。

(i) この2次関数は、 $x$ がいくつのときに最大値をとるか、またその最大値はいくらか。

(ii) $-5 \le x \le 1$ における最小値は何か。選択肢の中から選びます。

(iii) $-5 \le x < 1$ における最小値は何か。選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

(i) 2次関数の最大値を求めるため、平方完成を行います。

$y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1 = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 1 = -\frac{1}{3}((x + 3)^2 - 9) - 1$

$y = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 3 - 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 2$

したがって、 $x = -3$ のとき、最大値 $2$ をとります。

(ii) $-5 \le x \le 1$ における最小値を求めます。

軸は $x = -3$ で、定義域は $-5 \le x \le 1$ です。

$x = -5$ のとき、 $y = -\frac{1}{3}(-5 + 3)^2 + 2 = -\frac{1}{3}(-2)^2 + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$

$x = 1$ のとき、 $y = -\frac{1}{3}(1 + 3)^2 + 2 = -\frac{1}{3}(4)^2 + 2 = -\frac{16}{3} + 2 = -\frac{10}{3}$

$x=-3$ のとき、$y=2$

したがって、最小値は $x = 1$ のときの $y = -\frac{10}{3}$ です。

(iii) $-5 \le x < 1$ における最小値を求めます。

$x$ は $1$ を含まないので、$x$ が $1$ に限りなく近づく時の $y$ の値は $-\frac{10}{3}$ に限りなく近づきますが、定義域に最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(i) $x = -3$ で、最大値 $2$ をとる。

(ii) エ：2

(iii) オ：3