2つの実数 $a$, $b$ が与えられており、$a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$, $b = |a - \sqrt{6}|$ である。 (1) $a$ の分母を有理化し、$b$ の値を求める。 (2) $a^2 + b^2$, $a^3 + b^3$ の値をそれぞれ求める。 (3) $a^5 - \sqrt{2}a^2 + \sqrt{2}b^2 + b^5$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの実数 $a$, $b$ が与えられており、$a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$, $b = |a - \sqrt{6}|$ である。

(1) $a$ の分母を有理化し、$b$ の値を求める。

(2) $a^2 + b^2$, $a^3 + b^3$ の値をそれぞれ求める。

(3) $a^5 - \sqrt{2}a^2 + \sqrt{2}b^2 + b^5$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ より、すでに分母は有理化されている。したがって、$a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$。

次に、$b$ の値を求める。

$b = |a - \sqrt{6}| = |\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{6}| = |\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2}| = |\frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}| = |\frac{-(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}| = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

次に、$a^3 + b^3$ を求める。

$a^3 = (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^3 = \frac{1}{8} (6\sqrt{6} - 3 \cdot 6\sqrt{2} + 3 \cdot 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}) = \frac{1}{8} (6\sqrt{6} - 18\sqrt{2} + 6\sqrt{6} - 2\sqrt{2}) = \frac{1}{8} (12\sqrt{6} - 20\sqrt{2}) = \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{2}$

$b^3 = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})^3 = \frac{1}{8} (6\sqrt{6} + 3 \cdot 6\sqrt{2} + 3 \cdot 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}) = \frac{1}{8} (6\sqrt{6} + 18\sqrt{2} + 6\sqrt{6} + 2\sqrt{2}) = \frac{1}{8} (12\sqrt{6} + 20\sqrt{2}) = \frac{3\sqrt{6} + 5\sqrt{2}}{2}$

$a^3 + b^3 = \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{6} + 5\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$

(3) $a^5 - \sqrt{2}a^2 + \sqrt{2}b^2 + b^5$ を求める。

$a^5 + b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b) = (4)(3\sqrt{6}) - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}) = 12\sqrt{6} - (4-3)(\sqrt{6}) = 12\sqrt{6}-\sqrt{6} = 11\sqrt{6}$

$a^5 + b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b) = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b)$

$a^5-\sqrt{2}a^2+\sqrt{2}b^2+b^5 = a^5+b^5 + \sqrt{2}(b^2 - a^2) = 11\sqrt{6} + \sqrt{2}(2+\sqrt{3} - (2-\sqrt{3})) = 11\sqrt{6} + \sqrt{2}(2\sqrt{3}) = 11\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 13\sqrt{6}$

画像に答えが載っていました。

(1) $a = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

(2) $a^2 + b^2 = 4$, $a^3 + b^3 = 3\sqrt{6}$

(3) $9\sqrt{6}$

$a^5 - \sqrt{2}a^2 + \sqrt{2}b^2 + b^5 = a^5 + b^5 + \sqrt{2}(b^2-a^2) = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b) + \sqrt{2}(b^2-a^2)$

$a^5 + b^5 =(4)(3\sqrt{6}) - ((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}))(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}) = 12\sqrt{6} - (4-3)(\sqrt{6}) = 11\sqrt{6}$

$\sqrt{2}(b^2 - a^2) = \sqrt{2}((2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})) = \sqrt{2}(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$

$a^5 - \sqrt{2}a^2 + \sqrt{2}b^2 + b^5 = 11\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 13\sqrt{6}$.

検算:

$a^5+b^5 = (a+b)(a^4 -a^3b +a^2b^2 -ab^3 +b^4) =$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

(2) $a^2 + b^2 = 4$, $a^3 + b^3 = 3\sqrt{6}$

(3) $13\sqrt{6}$