(1) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + b$ が与えられ、$P(x)$ は $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $5$ 余る。定数 $a$ と $b$ を求めよ。 (2) 多項式 $P(x)$ が与えられ、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $4$、$x-3$ で割った余りが $1$ である。$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割った余りを求めよ。 (3) $x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ を解け。 (4) $x^3 + x^2 + 4 = 0$ を解け。 (5) $2x^3 - 3x^2 - x + 1 = 0$ を解け。 (6) $x^4 - x^3 - 4x^2 - 5x - 3 = 0$ を解け。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + b$ が与えられ、$P(x)$ は $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $5$ 余る。定数 $a$ と $b$ を求めよ。

(2) 多項式 $P(x)$ が与えられ、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $4$、$x-3$ で割った余りが $1$ である。$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割った余りを求めよ。

(3) $x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$ を解け。

(4) $x^3 + x^2 + 4 = 0$ を解け。

(5) $2x^3 - 3x^2 - x + 1 = 0$ を解け。

(6) $x^4 - x^3 - 4x^2 - 5x - 3 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + b$

$P(-3) = 0$ より、

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 2(-3) + b = 0$

$-27 + 9a + 6 + b = 0$

$9a + b = 21$ ...(1)

$P(2) = 5$ より、

$(2)^3 + a(2)^2 - 2(2) + b = 5$

$8 + 4a - 4 + b = 5$

$4a + b = 1$ ...(2)

(1) - (2) より、

$5a = 20$

$a = 4$

$a=4$ を (2) に代入すると、

$4(4) + b = 1$

$16 + b = 1$

$b = -15$

(2)

余りの定理より、$P(-2) = 4$、$P(3) = 1$

$x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$

$P(x) = (x^2 - x - 6)Q(x) + Ax + B$ とおく。

$P(-2) = -2A + B = 4$ ...(3)

$P(3) = 3A + B = 1$ ...(4)

(4) - (3) より、

$5A = -3$

$A = -\frac{3}{5}$

$A = -\frac{3}{5}$ を (4) に代入すると、

$3(-\frac{3}{5}) + B = 1$

$-\frac{9}{5} + B = 1$

$B = \frac{14}{5}$

余りは $-\frac{3}{5}x + \frac{14}{5}$

(3)

$x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0$

$(x-2)(x^2+6x+9) = 0$

$(x-2)(x+3)^2 = 0$

$x = 2, -3$ (重解)

(4)

$x^3 + x^2 + 4 = 0$

$(x+2)(x^2-x+2)=0$

$x+2 = 0$ または $x^2-x+2 = 0$

$x = -2$

$x^2 - x + 2 = 0$ の解は、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

$x = -2, \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(5)

$2x^3 - 3x^2 - x + 1 = 0$

$(x-1)(2x^2 - x - 1) = 0$

$(x-1)(x-1)(2x+1)=0$

$(x-1)^2(2x+1)=0$

$x = 1, -\frac{1}{2}$

$x = 1$ (重解), $-\frac{1}{2}$

(6)

$x^4 - x^3 - 4x^2 - 5x - 3 = 0$

$(x+1)(x^3-2x^2-2x-3) = 0$

$(x+1)(x-3)(x^2+x+1) = 0$

$x = -1, 3$

$x^2 + x + 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$x = -1, 3, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = -15$

(2) $-\frac{3}{5}x + \frac{14}{5}$

(3) $x = 2, -3$ (重解)

(4) $x = -2, \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(5) $x = 1$ (重解), $-\frac{1}{2}$

(6) $x = -1, 3, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$