与えられた問題は、ベクトルに関する8つの小問から構成されています。 (1) 正六角形におけるベクトルの表現、(2) ベクトルの線形結合、(3) 平行なベクトルの条件、(4) ベクトルの内積、(5) ベクトルのなす角、(6) 正六角形の内積、(7) ベクトルの和の大きさ、(8) ベクトルの和の大きさの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、ベクトルに関する8つの小問から構成されています。

(1) 正六角形におけるベクトルの表現、(2) ベクトルの線形結合、(3) 平行なベクトルの条件、(4) ベクトルの内積、(5) ベクトルのなす角、(6) 正六角形の内積、(7) ベクトルの和の大きさ、(8) ベクトルの和の大きさの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AF} = \vec{b}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{u} - \vec{a}$

(2) $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ より、 $(5, 0) = s(1, 2) + t(3, -4) = (s+3t, 2s-4t)$.

したがって、

$s+3t = 5$

$2s - 4t = 0$

この連立方程式を解くと、$s = 2, t = 1$.

(3) $\vec{a} + 4\vec{b} = (x, -2) + 4(1, -4) = (x+4, -18)$.

$\vec{a} - \vec{b} = (x, -2) - (1, -4) = (x-1, 2)$.

$\vec{a} + 4\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が平行なので、ある実数 $k$ が存在し、$\vec{a} + 4\vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$.

$(x+4, -18) = k(x-1, 2)$.

$x+4 = k(x-1)$

$-18 = 2k$

したがって、$k = -9$.

$x+4 = -9(x-1)$

$x+4 = -9x+9$

$10x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

(4) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{150^\circ} = 7 \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -21\sqrt{3}$.

(5) $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (4, -8)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(4) + 1(-8) = 8 - 8 = 0$.

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は $90^\circ$.

(6) $|\overrightarrow{AD}| = 2 \cdot 3 = 6, |\overrightarrow{DE}| = 3$. $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{DE}$のなす角は$60^{\circ}$なので

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DE} = |\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{DE}|\cos{60^\circ} = 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 9$.

(7) $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3^2 + 2(7) + 4^2 = 9 + 14 + 16 = 39$.

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{39}$.

(8) $|\vec{a}-t\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2t(\vec{a}\cdot\vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2 = 4^2 - 2t(10) + t^2(5^2) = 16 - 20t + 25t^2 = 25(t^2-\frac{4}{5}t) + 16 = 25(t^2 - \frac{4}{5}t + (\frac{2}{5})^2) - 25(\frac{4}{25})+16 = 25(t-\frac{2}{5})^2 -4 + 16 = 25(t-\frac{2}{5})^2 + 12$

最小値は $t = \frac{2}{5}$ のとき、 $12$.

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BD} = \vec{u} - \vec{a}$

(2) $s = 2, t = 1$

(3) $x = \frac{1}{2}$

(4) $-21\sqrt{3}$

(5) $90^\circ$

(6) $9$

(7) $\sqrt{39}$

(8) $12$