2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

2. 解き方の手順

2つの解の比が2:3であることから、2つの解を $2\alpha$ , $3\alpha$ とおくことができる。

解と係数の関係より、

2つの解の和は、$2\alpha + 3\alpha = 10$

2つの解の積は、$2\alpha \cdot 3\alpha = m$

まず、和の式から $\alpha$ の値を求める。

$5\alpha = 10$

$\alpha = 2$

次に、積の式に $\alpha$ の値を代入して、$m$ の値を求める。

$m = 2\alpha \cdot 3\alpha = 6\alpha^2 = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24$

したがって、$m = 24$ となる。

2つの解は、$2\alpha = 2 \cdot 2 = 4$ と $3\alpha = 3 \cdot 2 = 6$ である。

3. 最終的な答え

$m = 24$

2つの解は $x=4, 6$