2次方程式 $x^2 - (a+1)x + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、$a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a+1)x + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、$a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

この問題の場合、$a=1$, $b=-(a+1)$, $c=2$ であるから、判別式 $D$ は以下のようになる。

$D = (-(a+1))^2 - 4(1)(2)$

$D = (a+1)^2 - 8$

$D = a^2 + 2a + 1 - 8$

$D = a^2 + 2a - 7$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要がある。

したがって、$a^2 + 2a - 7 > 0$ を解く。

まず、$a^2 + 2a - 7 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2}$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2}$

$a = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$a = -1 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$a^2 + 2a - 7 > 0$ の解は、$a < -1 - 2\sqrt{2}$ または $a > -1 + 2\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a < -1 - 2\sqrt{2}$ または $a > -1 + 2\sqrt{2}$