次の連立方程式を解きます。 $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases}$

代数学連立方程式二次方程式因数分解
2025/7/9
## (1)の問題

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。
$\begin{cases}
x + y = 5 \\
x^2 + y^2 = 17
\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、x+y=5x + y = 5 より、y=5xy = 5 - x と変形します。
この式を、x2+y2=17x^2 + y^2 = 17 に代入します。
x2+(5x)2=17x^2 + (5 - x)^2 = 17
x2+(2510x+x2)=17x^2 + (25 - 10x + x^2) = 17
2x210x+25=172x^2 - 10x + 25 = 17
2x210x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0
x25x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0
(x1)(x4)=0(x - 1)(x - 4) = 0
よって、x=1x = 1 または x=4x = 4 です。
x=1x = 1 のとき、y=51=4y = 5 - 1 = 4
x=4x = 4 のとき、y=54=1y = 5 - 4 = 1

3. 最終的な答え

(x,y)=(1,4),(4,1)(x, y) = (1, 4), (4, 1)
## (2)の問題

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。
$\begin{cases}
x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\
x^2 + y^2 + x - y = 4
\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、x23xy+2y2=0x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 を因数分解します。
(xy)(x2y)=0(x - y)(x - 2y) = 0
よって、x=yx = y または x=2yx = 2y です。
i) x=yx = y のとき、x2+y2+xy=4x^2 + y^2 + x - y = 4 に代入します。
x2+x2+xx=4x^2 + x^2 + x - x = 4
2x2=42x^2 = 4
x2=2x^2 = 2
x=±2x = \pm \sqrt{2}
したがって、(x,y)=(2,2),(2,2)(x, y) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})
ii) x=2yx = 2y のとき、x2+y2+xy=4x^2 + y^2 + x - y = 4 に代入します。
(2y)2+y2+2yy=4(2y)^2 + y^2 + 2y - y = 4
4y2+y2+y=44y^2 + y^2 + y = 4
5y2+y4=05y^2 + y - 4 = 0
(5y+4)(y1)=0(5y + 4)(y - 1) = 0
よって、y=1y = 1 または y=45y = -\frac{4}{5} です。
y=1y = 1 のとき、x=2(1)=2x = 2(1) = 2
y=45y = -\frac{4}{5} のとき、x=2(45)=85x = 2(-\frac{4}{5}) = -\frac{8}{5}
したがって、(x,y)=(2,1),(85,45)(x, y) = (2, 1), (-\frac{8}{5}, -\frac{4}{5})

3. 最終的な答え

(x,y)=(2,2),(2,2),(2,1),(85,45)(x, y) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}), (2, 1), (-\frac{8}{5}, -\frac{4}{5})

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