$x^2 + y^2 = 4$ の条件下で、$x^2 - 2y^2 + 6x$ の最大値と最小値を求めよ。

## (2) の問題

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 4$ の条件下で、$x^2 - 2y^2 + 6x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。これを $x^2 - 2y^2 + 6x$ に代入する。

$x^2 - 2y^2 + 6x = x^2 - 2(4 - x^2) + 6x = x^2 - 8 + 2x^2 + 6x = 3x^2 + 6x - 8$

ここで、$f(x) = 3x^2 + 6x - 8$ とおく。

また、$x^2 + y^2 = 4$ より、$x$ の取りうる範囲は $-2 \le x \le 2$ である。

$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 3(x^2 + 2x) - 8 = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) - 8 = 3(x + 1)^2 - 3 - 8 = 3(x + 1)^2 - 11$

$f(x)$ は下に凸の放物線で、頂点は $(-1, -11)$ である。定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を考える。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = -11$

$x = -2$ のとき、$f(-2) = 3(-2 + 1)^2 - 11 = 3 - 11 = -8$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 3(2 + 1)^2 - 11 = 3(9) - 11 = 27 - 11 = 16$

したがって、最大値は $16$ ($x = 2$ のとき)、最小値は $-11$ ($x = -1$ のとき) である。

3. 最終的な答え

最大値：16

最小値：-11

## (3) の問題

1. 問題の内容

定義域 $-1 \le x \le 1$ であるとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$t = x^2 - 2x - 1$ とおく。すると、$y = t^2 - 6t + 5$ となる。

$t = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$ である。

$-1 \le x \le 1$ における $t$ の範囲を求める。

$x = 1$ のとき、$t = -2$

$x = -1$ のとき、$t = (-1 - 1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$t = (x - 1)^2 - 2$ は下に凸な放物線で、軸は $x = 1$ である。

$-1 \le x \le 1$ において、$x = 1$ で最小値 $-2$ をとり、$x = -1$ で最大値 $2$ をとる。

したがって、$-2 \le t \le 2$ である。

$y = t^2 - 6t + 5 = (t - 3)^2 - 4$

$y$ は下に凸な放物線で、頂点は $(3, -4)$ である。

$-2 \le t \le 2$ における $y$ の最大値と最小値を考える。

$t = -2$ のとき、$y = (-2 - 3)^2 - 4 = 25 - 4 = 21$

$t = 2$ のとき、$y = (2 - 3)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

したがって、最大値は $21$ ($t = -2$ のとき)、最小値は $-3$ ($t = 2$ のとき) である。

$t = -2$ となるのは、$x = 1$ のとき。

$t = 2$ となるのは、$x = -1$ のとき。

3. 最終的な答え

最大値：21

最小値：-3