数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7$ (2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12$ (3) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

代数学数列漸化式等比数列特性方程式
2025/7/9

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。
(1) a1=1,an+1=2an+7a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7
(2) a1=5,an+1=7an12a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12
(3) a1=0,2an+13an=1a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1

2. 解き方の手順

(1) a1=1,an+1=2an+7a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7 の場合
特性方程式 x=2x+7x = 2x + 7 を解くと、 x=7x = -7 となります。
したがって、an+1+7=2(an+7)a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7) と変形できます。
数列 {an+7}\{a_n + 7\} は、初項 a1+7=1+7=8a_1 + 7 = 1 + 7 = 8 、公比 22 の等比数列です。
よって、an+7=82n1a_n + 7 = 8 \cdot 2^{n-1} となります。
したがって、an=82n17a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7 となります。
(2) a1=5,an+1=7an12a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12 の場合
特性方程式 x=7x12x = 7x - 12 を解くと、 6x=126x = 12 より x=2x = 2 となります。
したがって、an+12=7(an2)a_{n+1} - 2 = 7(a_n - 2) と変形できます。
数列 {an2}\{a_n - 2\} は、初項 a12=52=3a_1 - 2 = 5 - 2 = 3 、公比 77 の等比数列です。
よって、an2=37n1a_n - 2 = 3 \cdot 7^{n-1} となります。
したがって、an=37n1+2a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2 となります。
(3) a1=0,2an+13an=1a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1 の場合
2an+1=3an+12a_{n+1} = 3a_n + 1 より、an+1=32an+12a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{1}{2} となります。
特性方程式 x=32x+12x = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} を解くと、 12x=12-\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} より x=1x = -1 となります。
したがって、an+1+1=32(an+1)a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1) と変形できます。
数列 {an+1}\{a_n + 1\} は、初項 a1+1=0+1=1a_1 + 1 = 0 + 1 = 1 、公比 32\frac{3}{2} の等比数列です。
よって、an+1=1(32)n1=(32)n1a_n + 1 = 1 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1} = (\frac{3}{2})^{n-1} となります。
したがって、an=(32)n11a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1 となります。

3. 最終的な答え

(1) an=82n17a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7
(2) an=37n1+2a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2
(3) an=(32)n11a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1

「代数学」の関連問題

複素数平面上に異なる3点 $z, z^2, z^3$ がある。 (1) $z, z^2, z^3$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求めよ。 (2) $z, z^2, z^3$ が二等辺三角...

複素数複素数平面幾何学三角不等式
2025/7/9

絶対値を含む不等式の整数解に関する問題です。 まず、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求めます。次に、$a > 0$ のとき、...

絶対値不等式整数解
2025/7/9

(1)から(6)は分母の有理化を行う問題です。(7)と(8)は与えられた式を計算する問題です。

平方根有理化計算
2025/7/9

多項式 $A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$ が与えられ、$t = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおく。 (1) $A$ を $t$ の式で...

多項式因数分解式の計算代入
2025/7/9

与えられた定義域における以下の関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$) (2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ...

二次関数最大値最小値平方完成定義域
2025/7/9

$t$ を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx + 6t = 0$ と $tx^2 + x + 2t = 0$ が共通の実数解をもつとき、共通の実数解と $t$ の値を求め...

二次方程式共通解連立方程式因数分解
2025/7/9

野外活動の宿舎で、生徒を1部屋に4人ずつ入れると5人余る。5人ずつ入れると、4人の部屋が1部屋でき、さらに2部屋が余る。生徒の人数を求める問題です。

方程式文章問題一次方程式
2025/7/9

与えられた10個の式をそれぞれ簡単にせよという問題です。それぞれの式は平方根を含んでいるものや、平方根の和や積、平方根を含んだ式の二乗などが含まれています。

平方根根号式の計算数式展開
2025/7/9

与えられた方程式 $0 = (2t-1)(10-t) + (t^2-t+1)$ を解いて、$t$ の値を求めます。

二次方程式解の公式
2025/7/9

与えられた各式を簡単にし、計算せよ。問題は全部で25問あります。

指数累乗根計算
2025/7/9