数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7$ (2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12$ (3) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7$

(2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12$

(3) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7$ の場合

特性方程式 $x = 2x + 7$ を解くと、 $x = -7$ となります。

したがって、$a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7)$ と変形できます。

数列 $\{a_n + 7\}$ は、初項 $a_1 + 7 = 1 + 7 = 8$ 、公比 $2$ の等比数列です。

よって、$a_n + 7 = 8 \cdot 2^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7$ となります。

(2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12$ の場合

特性方程式 $x = 7x - 12$ を解くと、 $6x = 12$ より $x = 2$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 2 = 7(a_n - 2)$ と変形できます。

数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ 、公比 $7$ の等比数列です。

よって、$a_n - 2 = 3 \cdot 7^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$ となります。

(3) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$ の場合

$2a_{n+1} = 3a_n + 1$ より、$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{1}{2}$ となります。

特性方程式 $x = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ を解くと、 $-\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$ より $x = -1$ となります。

したがって、$a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1)$ と変形できます。

数列 $\{a_n + 1\}$ は、初項 $a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$ 、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列です。

よって、$a_n + 1 = 1 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1} = (\frac{3}{2})^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7$

(2) $a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$

(3) $a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1$