数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7$ (2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12$ (3) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

代数学数列漸化式等比数列特性方程式
2025/7/9

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について、一般項を求めます。
(1) a1=1,an+1=2an+7a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7
(2) a1=5,an+1=7an12a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12
(3) a1=0,2an+13an=1a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1

2. 解き方の手順

(1) a1=1,an+1=2an+7a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 7 の場合
特性方程式 x=2x+7x = 2x + 7 を解くと、 x=7x = -7 となります。
したがって、an+1+7=2(an+7)a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7) と変形できます。
数列 {an+7}\{a_n + 7\} は、初項 a1+7=1+7=8a_1 + 7 = 1 + 7 = 8 、公比 22 の等比数列です。
よって、an+7=82n1a_n + 7 = 8 \cdot 2^{n-1} となります。
したがって、an=82n17a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7 となります。
(2) a1=5,an+1=7an12a_1 = 5, a_{n+1} = 7a_n - 12 の場合
特性方程式 x=7x12x = 7x - 12 を解くと、 6x=126x = 12 より x=2x = 2 となります。
したがって、an+12=7(an2)a_{n+1} - 2 = 7(a_n - 2) と変形できます。
数列 {an2}\{a_n - 2\} は、初項 a12=52=3a_1 - 2 = 5 - 2 = 3 、公比 77 の等比数列です。
よって、an2=37n1a_n - 2 = 3 \cdot 7^{n-1} となります。
したがって、an=37n1+2a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2 となります。
(3) a1=0,2an+13an=1a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1 の場合
2an+1=3an+12a_{n+1} = 3a_n + 1 より、an+1=32an+12a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{1}{2} となります。
特性方程式 x=32x+12x = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} を解くと、 12x=12-\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} より x=1x = -1 となります。
したがって、an+1+1=32(an+1)a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1) と変形できます。
数列 {an+1}\{a_n + 1\} は、初項 a1+1=0+1=1a_1 + 1 = 0 + 1 = 1 、公比 32\frac{3}{2} の等比数列です。
よって、an+1=1(32)n1=(32)n1a_n + 1 = 1 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1} = (\frac{3}{2})^{n-1} となります。
したがって、an=(32)n11a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1 となります。

3. 最終的な答え

(1) an=82n17a_n = 8 \cdot 2^{n-1} - 7
(2) an=37n1+2a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2
(3) an=(32)n11a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1

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