$a$, $b$ は実数であり、$ab > 0$ である。次の選択肢 (1)～(5) のうち、常に正しいものを一つ選ぶ問題です。 (1) $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$ (2) $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$ (3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ (4) $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$ (5) 上の(1)～(4)は全て正しくない

1. 問題の内容

$a$, $b$ は実数であり、$ab > 0$ である。次の選択肢 (1)～(5) のうち、常に正しいものを一つ選ぶ問題です。

(1) $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

(2) $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

(3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

(4) $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

(5) 上の(1)～(4)は全て正しくない

2. 解き方の手順

条件 $ab > 0$ は、$a$ と $b$ が同符号であることを意味します。つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$、または、$a < 0$ かつ $b < 0$ のいずれかです。各選択肢について検討します。

(1) $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

$a > 0$ かつ $b > 0$ の場合、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ が成り立ちます。

しかし、$a < 0$ かつ $b < 0$ の場合を考えます。例えば、$a = -2$, $b = -1$ とすると、$a < b$ ですが、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ となります。したがって、(1)は正しくありません。

(2) $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

$a > 0$ かつ $b > 0$ の場合、$a < b$ ならば $a^2 < b^2$ ですから、(2)は正しくありません。

(3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

$a < 0$ かつ $b < 0$ の場合を考えます。例えば、$a = -2$, $b = -1$ とすると、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ です。また、$a = -1, b = -2$ のとき、$a^2 = 1, b^2 = 4$ であり、$a^2 < b^2$ かつ $a > b$ です。したがって、(3)は正しくありません。

(4) $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

$a^2 > b^2$ と $ab > 0$ から、$a,b$は同符号です。

もし$a,b > 0$なら、$a^2 > b^2$から$a > b$は正しいです。

もし$a,b < 0$なら、$a^2 > b^2$から$|a| > |b|$となり、$a < b$です。

しかし、$a = -1, b = -2$のとき、$a^2 = 1, b^2 = 4$で、$a^2 < b^2$であり、$a>b$です。

例えば、$a = -2, b = -1$ とすると、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ ですが、$a < b$ となります。したがって、(4)は正しくありません。

したがって、正解は(5)です。

3. 最終的な答え

(5) 上の①~④は全て正しくない