与えられた複素数の方程式を解き、その解を複素数平面上に図示する。問題は以下の3つの方程式を解く必要がある。 (1) $z^2 = i$ (2) $z^4 = -4$ (3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

1. 問題の内容

与えられた複素数の方程式を解き、その解を複素数平面上に図示する。問題は以下の3つの方程式を解く必要がある。

(1) $z^2 = i$

(2) $z^4 = -4$

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

2. 解き方の手順

(1) $z^2 = i$ を解く。

$z = x + yi$ とおくと、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ となる。

したがって、$x^2 - y^2 = 0$ かつ $2xy = 1$。

$x^2 = y^2$ より、$y = x$ または $y = -x$。

$2xy = 1$ より、$x$ と $y$ は同符号である必要があるから、$y = x$ のみ考える。

$2x^2 = 1$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

したがって、$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$。

(2) $z^4 = -4$ を解く。

$-4 = 4e^{i(\pi + 2k\pi)}$ (k は整数) と表せる。

したがって、$z = \sqrt{2} e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ (k = 0, 1, 2, 3)。

$k=0$: $z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 1+i$

$k=1$: $z = \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) = \sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = -1+i$

$k=2$: $z = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}) = \sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = -1-i$

$k=3$: $z = \sqrt{2} e^{i\frac{7\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}) = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 1-i$

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$ を解く。

$z = x + yi$ とおくと、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ となる。

したがって、$x^2 - y^2 = 1$ かつ $2xy = \sqrt{3}$。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2x}$ を $x^2 - y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 - \frac{3}{4x^2} = 1$。

$4x^4 - 3 = 4x^2$ より、$4x^4 - 4x^2 - 3 = 0$。

$(2x^2 - 3)(2x^2 + 1) = 0$。

$x^2 = \frac{3}{2}$ より、$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

したがって、$z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $z = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$。

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(2) $z = 1+i, -1+i, -1-i, 1-i$

(3) $z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$