与えられた多項式 A を多項式 B で割り、商と余りをそれぞれ求めます。 問題は3つあります。 (1) $A = 2x^2 - 3x + 1$, $B = x - 2$ (2) $A = x^3 + x + 3$, $B = x^2 + 2x - 1$ (3) $A = 4x^3 - 6x^2 - 7$, $B = 2x^2 + 1$

## 問題 1

1. 問題の内容

与えられた多項式 A を多項式 B で割り、商と余りをそれぞれ求めます。 問題は3つあります。

(1) $A = 2x^2 - 3x + 1$, $B = x - 2$

(2) $A = x^3 + x + 3$, $B = x^2 + 2x - 1$

(3) $A = 4x^3 - 6x^2 - 7$, $B = 2x^2 + 1$

2. 解き方の手順

多項式の割り算は、筆算と同様の手順で行います。

まず、Aの最高次の項をBの最高次の項で割り、商の最初の項を求めます。

次に、Bに商の最初の項をかけ、結果をAから引きます。

この操作を、Aの次数がBの次数より小さくなるまで繰り返します。

最後に残った多項式が余りとなります。

(1) $A = 2x^2 - 3x + 1$, $B = x - 2$

$2x^2 - 3x + 1$ を $x - 2$ で割ります。

まず、$2x^2$ を $x$ で割ると、$2x$ となります。これが商の最初の項です。

$2x (x - 2) = 2x^2 - 4x$

$(2x^2 - 3x + 1) - (2x^2 - 4x) = x + 1$

次に、$x$ を $x$ で割ると、$1$ となります。これが商の次の項です。

$1 (x - 2) = x - 2$

$(x + 1) - (x - 2) = 3$

したがって、商は $2x + 1$、余りは $3$ です。

(2) $A = x^3 + x + 3$, $B = x^2 + 2x - 1$

$x^3 + x + 3$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ります。

$A = x^3 + 0x^2 + x + 3$

まず、$x^3$ を $x^2$ で割ると、$x$ となります。これが商の最初の項です。

$x (x^2 + 2x - 1) = x^3 + 2x^2 - x$

$(x^3 + 0x^2 + x + 3) - (x^3 + 2x^2 - x) = -2x^2 + 2x + 3$

次に、$-2x^2$ を $x^2$ で割ると、$-2$ となります。これが商の次の項です。

$-2 (x^2 + 2x - 1) = -2x^2 - 4x + 2$

$(-2x^2 + 2x + 3) - (-2x^2 - 4x + 2) = 6x + 1$

したがって、商は $x - 2$、余りは $6x + 1$ です。

(3) $A = 4x^3 - 6x^2 - 7$, $B = 2x^2 + 1$

$4x^3 - 6x^2 - 7$ を $2x^2 + 1$ で割ります。

$A = 4x^3 - 6x^2 + 0x - 7$

まず、$4x^3$ を $2x^2$ で割ると、$2x$ となります。これが商の最初の項です。

$2x (2x^2 + 1) = 4x^3 + 2x$

$(4x^3 - 6x^2 + 0x - 7) - (4x^3 + 2x) = -6x^2 - 2x - 7$

次に、$-6x^2$ を $2x^2$ で割ると、$-3$ となります。これが商の次の項です。

$-3 (2x^2 + 1) = -6x^2 - 3$

$(-6x^2 - 2x - 7) - (-6x^2 - 3) = -2x - 4$

したがって、商は $2x - 3$、余りは $-2x - 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) 商: $2x + 1$, 余り: $3$

(2) 商: $x - 2$, 余り: $6x + 1$

(3) 商: $2x - 3$, 余り: $-2x - 4$