与えられた行列式の値を計算する問題です。具体的には、以下の3つの行列式を求める必要があります。 (1) $D = \begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}$ (2) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$ (3) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & 4 & y \\ 5 & 6 & z \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。具体的には、以下の3つの行列式を求める必要があります。

(1) $D = \begin{vmatrix} 1+ax & 1+ay & 1+az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}$

(2) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$

(3) $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & 4 & y \\ 5 & 6 & z \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列式の性質を利用して計算します。

まず、行列式を以下のように分解します。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1+bx & 1+by & 1+bz \\ 1+cx & 1+cy & 1+cz \end{vmatrix}$

さらに分解すると、

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1 & 1 & 1 \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ 1 & 1 & 1 \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

さらに、各行列式を分解し、同じ列または行に比例する要素がある場合は0になることを利用します。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

行列式の性質から、

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$　と計算できます。

(2) 行列式を直接計算します。

$D = 1(5z - 6y) - 2(6x - 4z) + 3(5x - 4y) = 5z - 6y - 12x + 8z + 15x - 12y = 3x - 18y + 13z$

計算ミスがあったので修正します。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 1(6y-5z) - 2(6x-4z) + 3(5x-4y) = 6y - 5z - 12x + 8z + 15x - 12y = 3x - 6y + 3z = 3(x-2y+z)$

(3) 行列式を直接計算します。

$D = 1(4z - 6y) - 2(3z - 5y) + x(18 - 20) = 4z - 6y - 6z + 10y - 2x = -2x + 4y - 2z = -2(x - 2y + z)$

3. 最終的な答え

(1) $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bx & by & bz \\ cx & cy & cz \end{vmatrix}$

(2) $D = 3x - 6y + 3z = 3(x-2y+z)$

(3) $D = -2x + 4y - 2z = -2(x - 2y + z)$