$x$, $y$ が次の4つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めます。 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y \leq 10$, $2x-3y \geq -6$

1. 問題の内容

$x$, $y$ が次の4つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めます。

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y \leq 10$, $2x-3y \geq -6$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式をグラフで表し、領域を図示します。

次に、$x+y = k$ とおき、$y = -x + k$ と変形します。

この直線が、上記の領域と共有点を持つような $k$ の範囲を求めます。$k$ が最大となる場合と最小となる場合を探します。

* 不等式をそれぞれ変形します。

1. $x \geq 0$

2. $y \geq 0$

3. $y \leq -2x + 10$

4. $y \leq \frac{2}{3}x + 2$

* 領域を図示すると、四角形になります。頂点の座標を求めます。

1. $x=0$ と $y=0$ の交点は $(0,0)$

2. $x=0$ と $y = \frac{2}{3}x + 2$ の交点は $(0,2)$

3. $y=0$ と $y = -2x + 10$ の交点は $(5,0)$

4. $y = -2x + 10$ と $y = \frac{2}{3}x + 2$ の交点を求めます。

$-2x + 10 = \frac{2}{3}x + 2$

$-\frac{8}{3}x = -8$

$x = 3$

$y = -2(3) + 10 = 4$

したがって、交点は $(3,4)$

* $x+y = k$ とおき、$y = -x + k$ と変形します。この直線が上記の領域と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求めます。

領域の頂点の座標を $x+y$ に代入します。

1. $(0,0)$ : $0+0 = 0$

2. $(0,2)$ : $0+2 = 2$

3. $(5,0)$ : $5+0 = 5$

4. $(3,4)$ : $3+4 = 7$

$k$ が最大となるのは $(3,4)$ を通るときで、最大値は $7$ です。

$k$ が最小となるのは $(0,0)$ を通るときで、最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 7

最小値: 0