次の不等式を解きます。 $0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を書き換えます。

$0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

$0.2$ は $\frac{1}{5}$ と書き換えられます。したがって、

$(\frac{1}{5})^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

右辺の分母を指数を使って書き換えます。

$5\sqrt[3]{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 5^{1 + \frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{3}}$

したがって、

$\frac{1}{5\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = (5^{\frac{4}{3}})^{-1} = 5^{-\frac{4}{3}}$

不等式を書き換えると、

$(\frac{1}{5})^{x-2} < 5^{-\frac{4}{3}}$

$\frac{1}{5}$ を $5^{-1}$ と書き換えます。

$(5^{-1})^{x-2} < 5^{-\frac{4}{3}}$

$5^{-(x-2)} < 5^{-\frac{4}{3}}$

$5^{-x+2} < 5^{-\frac{4}{3}}$

底が1より大きいので、指数の大小関係は不等号の向きを変えずに適用できます。

$-x+2 < -\frac{4}{3}$

$x > 2 + \frac{4}{3}$

$x > \frac{6}{3} + \frac{4}{3}$

$x > \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$x > \frac{10}{3}$