$\log_{7}16 \cdot \log_{8}7$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{7}16 \cdot \log_{8}7$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式 $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ を用いる。

まず、$\log_{7}16$ を底を2に変換すると

$\log_{7}16 = \frac{\log_{2}16}{\log_{2}7} = \frac{\log_{2}2^{4}}{\log_{2}7} = \frac{4}{\log_{2}7}$

次に、$\log_{8}7$ を底を2に変換すると

$\log_{8}7 = \frac{\log_{2}7}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}7}{\log_{2}2^{3}} = \frac{\log_{2}7}{3}$

したがって、

$\log_{7}16 \cdot \log_{8}7 = \frac{4}{\log_{2}7} \cdot \frac{\log_{2}7}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$