与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$x^2 + xy + x + 2y - 2$

$x$を含む項をまとめ、共通因数でくくります。

$x(x + y + 1) + 2y - 2$

ここで、$x+y+1$の形を作ることを考えます。

$2y-2$を$2(y+1)$と変形し、$x(x+y+1)+2(y+1)-4$とします。

すると、$x^2+xy+x+2y-2=x^2+xy+x+2y+2-4=(x+2)(x+y+1) -4$とはなりません。

そこで、$x$について整理し直します。

$x^2 + (y+1)x + 2y - 2$

この式が因数分解できると仮定すると、

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$となる$a, b$を見つけることになります。

つまり、$a+b=y+1$ かつ $ab=2y-2$となる$a, b$を見つけられれば良いことになります。

$a=2$のとき$b=y-1$なので、$2+(y-1) = y+1$となり、$2(y-1) = 2y-2$となり、条件を満たします。

したがって、 $x^2 + (y+1)x + 2y - 2 = (x+2)(x+y-1)$.

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+y-1)$