$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ が成り立つような値を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ が成り立つような値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{a}$ を $a$ の指数で表します。

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

次に、与えられた式を $a$ の指数で表します。

$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = \sqrt{a \times a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{1 + \frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}$

したがって、

$a^{\frac{2}{3}} = a$

両辺の指数を比較すると、

$\frac{2}{3} = 1$ となるはずですが、これは誤りです。

与えられた式は、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ なので、

$a^{\frac{2}{3}} = a^1$

両辺を3乗すると、

$(a^{\frac{2}{3}})^3 = (a^1)^3$

$a^2 = a^3$

$a^3 - a^2 = 0$

$a^2(a-1) = 0$

$a > 0$ より、$a = 1$

したがって、$\sqrt{1 \times \sqrt[3]{1}} = \sqrt{1 \times 1} = \sqrt{1} = 1$

なので、$a = 1$

$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$

$(\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}})^2 = a^2$

$a \times \sqrt[3]{a} = a^2$

$\sqrt[3]{a} = a$

$(\sqrt[3]{a})^3 = a^3$

$a = a^3$

$a^3 - a = 0$

$a(a^2 - 1) = 0$

$a(a-1)(a+1) = 0$

$a > 0$ より、$a = 1$

もし問題が $\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$ であるならば

$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$

$a^{\frac{5}{6}} = a$

$\frac{5}{6} = 1$

これは正しくないので、

$a^{\frac{5}{6}} = a^1$

$a^5 = a^6$

$a^6 - a^5 = 0$

$a^5(a - 1) = 0$

$a > 0$ より $a = 1$

問題文を正しく解釈すると $\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}}=a$ の場合、$a=1$ である.

3. 最終的な答え

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