$a>0$ のとき、$\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} = a^x$ を満たす $x$ を求める。

1. 問題の内容

$a>0$ のとき、$\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[4]{a^3} = a^x$ を満たす $x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、累乗根を指数の形に書き換える。

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

よって、与えられた式は以下のように書き換えられる。

$a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{3}{4}} = a^x$

指数の法則より、$a^m \times a^n = a^{m+n}$ であるから、

$a^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} = a^x$

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$ を計算する。

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$

したがって、$a^{\frac{17}{12}} = a^x$ となるので、

$x = \frac{17}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{12}$