$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ を満たすような数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ を満たすような数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{a}$ は $a^{\frac{1}{2}}$ と、$\sqrt[3]{a}$ は $a^{\frac{1}{3}}$ と書き換えることができます。したがって、与えられた式は次のように書き換えられます。

$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$

$\sqrt{a \times a^{\frac{1}{3}}} = a$

次に、根号の中を計算します。

$a \times a^{\frac{1}{3}} = a^{1 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$

したがって、式は次のようになります。

$\sqrt{a^{\frac{4}{3}}} = a$

$\sqrt{ }$ は $(\ )^{\frac{1}{2}}$ と書き換えられるので、

$(a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a$

指数の法則より、$(a^m)^n = a^{m \times n}$ なので、

$a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a$

$a^{\frac{2}{3}} = a$

$a^{\frac{2}{3}} = a^1$

指数の部分を比較して、

$\frac{2}{3} = 1$

これは $a$ がどのような値でも成り立つわけではないので、元の式に戻って考えます。

$a^{\frac{2}{3}} = a$ の両辺を3乗します。

$(a^{\frac{2}{3}})^3 = a^3$

$a^2 = a^3$

$a^3 - a^2 = 0$

$a^2(a-1) = 0$

$a > 0$ より、$a=1$

$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a$ に $a=1$ を代入すると $\sqrt{1 \times \sqrt[3]{1}} = \sqrt{1 \times 1} = \sqrt{1} = 1$

また、$a = 0$ でも成立するが、$a>0$ という条件があるので、$a=0$ は除外される。

指数を使って書き換えたときに、指数の肩を比較して $\frac{2}{3} = 1$ としましたが、これは一般的には正しくありません。例えば、$a=1$ の時は、この式は成立します。そこで、 $a^2=a^3$ という式を導き、$a^2(a-1) = 0$ を解いて $a=1$ という答えを得ました。

$a^{\frac{2}{3}}=a$ の両辺を2乗すると$a^{\frac{4}{3}}=a^2$

$a>0$なので、両辺を$a$で割ると、$a^{\frac{1}{3}}=a$

両辺を３乗すると、$a=a^3$、$a^3-a=0$、$a(a^2-1)=0$、$a(a-1)(a+1)=0$

$a>0$なので、$a=1$

3. 最終的な答え

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