与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

各数を指数で表し、指数を共通の分母にすることで比較します。

まず、各数を指数で表します。

$\sqrt[4]{32} = 32^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数の分母を12に揃えます。

$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$

$\frac{3}{2} = \frac{18}{12}$

したがって、

$\sqrt[4]{32} = 2^{\frac{15}{12}}$

$\sqrt[3]{16} = 2^{\frac{16}{12}}$

$\sqrt{8} = 2^{\frac{18}{12}}$

底が2で1より大きいので、指数が大きいほど値は大きくなります。

$\frac{15}{12} < \frac{16}{12} < \frac{18}{12}$ なので、

$2^{\frac{15}{12}} < 2^{\frac{16}{12}} < 2^{\frac{18}{12}}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$