与えられた5x5の行列式の値を計算します。 行列式は次のとおりです。 $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列式の値を計算します。

行列式は次のとおりです。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して計算を簡単にします。

まず、1列目で展開します。1列目で0でない要素は8のみなので、

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix}

= (-1)^{5+1} \cdot 8 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix}

$$

次に、残った4x4の行列式を1行目で展開します。1行目で0でない要素は3のみなので、

$$

8 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix}

= 8 \cdot (-1)^{1+4} \cdot 3 \cdot

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

13 & -2 & 0 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

最後に、3x3の行列式を計算します。これは下三角行列なので、対角成分の積になります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

13 & -2 & 0 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \cdot (-2) \cdot 2 = -8

$$

したがって、元の行列式は

$$

8 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot (-8) = 192

$$

3. 最終的な答え

192