複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を、オイラーの公式を用いて計算します。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を、オイラーの公式を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式で表します。

分子: $-2 + 2i$

絶対値 $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta_1 = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \arctan(-1) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$

よって、 $-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

分母: $-1 + \sqrt{3}i$

絶対値 $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_2 = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$

よって、 $-1 + \sqrt{3}i = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

したがって、

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}{2e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \sqrt{2}e^{i(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2}e^{i(\frac{9\pi - 8\pi}{12})} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$

次に、指数形式から直交形式に戻します。

$e^{i\frac{\pi}{12}} = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$

$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{2\sqrt{3} - 2}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$