複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を、オイラーの公式を用いて計算します。

代数学複素数オイラーの公式極形式三角関数
2025/7/9

1. 問題の内容

複素数の割り算 2+2i1+3i\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} を、オイラーの公式を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式で表します。
分子: 2+2i-2 + 2i
絶対値 r1=(2)2+22=4+4=8=22r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
偏角 θ1=arctan(22)+π=arctan(1)+π=π4+π=3π4\theta_1 = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) + \pi = \arctan(-1) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}
よって、 2+2i=22ei3π4-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}
分母: 1+3i-1 + \sqrt{3}i
絶対値 r2=(1)2+(3)2=1+3=4=2r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2
偏角 θ2=arctan(31)+π=arctan(3)+π=π3+π=2π3\theta_2 = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}
よって、 1+3i=2ei2π3-1 + \sqrt{3}i = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}
したがって、
2+2i1+3i=22ei3π42ei2π3=2ei(3π42π3)=2ei(9π8π12)=2eiπ12\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}{2e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \sqrt{2}e^{i(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2}e^{i(\frac{9\pi - 8\pi}{12})} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}
次に、指数形式から直交形式に戻します。
eiπ12=cos(π12)+isin(π12)e^{i\frac{\pi}{12}} = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)
cos(π12)=cos(π3π4)=cos(π3)cos(π4)+sin(π3)sin(π4)=1222+3222=2+64\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
sin(π12)=sin(π3π4)=sin(π3)cos(π4)cos(π3)sin(π4)=32221222=624\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
よって、
2+2i1+3i=2(2+64+i624)=2+234+i2324=1+32+i312\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{2\sqrt{3} - 2}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}

3. 最終的な答え

1+32+i312\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}

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