2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ ...①と $2x+7 \ge 0$ ...②について考える。(1) $x < 0$ のとき、$0 \le x < 2$ のとき、$2 \le x$ のとき、それぞれ $3|x| - |x-2|$ を簡単な式で表す。(2) 不等式①の解を求める。(3) 不等式①と②をともに満たす整数の個数を求める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ ...①と $2x+7 \ge 0$ ...②について考える。(1) $x < 0$ のとき、$0 \le x < 2$ のとき、$2 \le x$ のとき、それぞれ $3|x| - |x-2|$ を簡単な式で表す。(2) 不等式①の解を求める。(3) 不等式①と②をともに満たす整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$。したがって、

$3|x| - |x-2| = 3(-x) - (-x+2) = -3x + x - 2 = -2x - 2$。

- $0 \le x < 2$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$。したがって、

$3|x| - |x-2| = 3x - (-x+2) = 3x + x - 2 = 4x - 2$。

- $2 \le x$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-2| = x-2$。したがって、

$3|x| - |x-2| = 3x - (x-2) = 3x - x + 2 = 2x + 2$。

(2)

- (i) $x < 0$ のとき、不等式①は $-2x - 2 \le 8$。

$-2x \le 10$ より $x \ge -5$。よって、$-5 \le x < 0$。

- (ii) $0 \le x < 2$ のとき、不等式①は $4x - 2 \le 8$。

$4x \le 10$ より $x \le \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$。よって、$0 \le x < 2$と合わせて $0 \le x < 2$。

- (iii) $2 \le x$ のとき、不等式①は $2x + 2 \le 8$。

$2x \le 6$ より $x \le 3$。よって、$2 \le x$と合わせて $2 \le x \le 3$。

- (i), (ii), (iii) より、①の解は $-5 \le x \le 3$。

(3)

- 不等式② $2x+7 \ge 0$ を解くと、$2x \ge -7$ より $x \ge -\frac{7}{2} = -3.5$。

- ①と②をともに満たす $x$ の範囲は $-3.5 \le x \le 3$。

- この範囲にある整数は $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ の7個。

3. 最終的な答え

(1) アイ：-2, ウ：2

エ：4, オ：2

カ：2, キ：2

(2) クゲ：-5, コ：3

(3) サ：7