与えられた4つの問題について、それぞれ解答を求めます。 (1) 4つの2次不等式を解きます。 (2) 2次方程式の実数解を持たないような定数 $a$ の範囲を求めます。 (3) 全ての実数 $x$ について、2次不等式が成り立つような定数 $a$ の範囲を求めます。 (4) 連立不等式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題について、それぞれ解答を求めます。

(1) 4つの2次不等式を解きます。

(2) 2次方程式の実数解を持たないような定数 $a$ の範囲を求めます。

(3) 全ての実数 $x$ について、2次不等式が成り立つような定数 $a$ の範囲を求めます。

(4) 連立不等式を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式を解く

1. $12x^2 - 5x - 3 > 0$

因数分解すると、$(3x+1)(4x-3)>0$

したがって、$x < -\frac{1}{3}, \frac{3}{4} < x$

2. $-x^2 + 4x - 2 \geq 0$

両辺に-1を掛けて、$x^2 - 4x + 2 \leq 0$

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、$2-\sqrt{2} \leq x \leq 2+\sqrt{2}$

3. $x^2 - 8x + 16 > 0$

$(x-4)^2 > 0$

$x \neq 4$ なので、すべての実数 $x$, ただし $x \neq 4$。

4. $-3x^2 + 12x - 13 \geq 0$

両辺に-1を掛けて、$3x^2 - 12x + 13 \leq 0$

解の公式より、$x = \frac{12 \pm \sqrt{144-156}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{-12}}{6}$

判別式が負なので、実数解は存在しない。したがって解なし。

(2) 2次方程式が実数解を持たない条件

2次方程式 $x^2 + (a-3)x - a + 6 = 0$ が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。

$D = (a-3)^2 - 4(1)(-a+6) = a^2 - 6a + 9 + 4a - 24 = a^2 - 2a - 15 < 0$

$(a-5)(a+3) < 0$

$-3 < a < 5$

(3) 全ての実数 $x$ で $x^2 - ax + 2a > 0$ が成り立つ条件

2次関数 $y = x^2 - ax + 2a$ が常に正であるためには、判別式 $D$ が負でなければなりません。

$D = (-a)^2 - 4(1)(2a) = a^2 - 8a < 0$

$a(a-8) < 0$

$0 < a < 8$

(4) 連立不等式を解く

1. $x^2 - 4x + 1 \geq 0$

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$x \leq 2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3} \leq x$

2. $-x^2 - x + 12 > 0$

両辺に-1を掛けて、$x^2 + x - 12 < 0$

$(x+4)(x-3) < 0$

$-4 < x < 3$

連立不等式を満たす範囲は、$-4 < x \leq 2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3} \leq x < 3$

3. 最終的な答え

(1)

1. $x < -\frac{1}{3}, \frac{3}{4} < x$

2. $2-\sqrt{2} \leq x \leq 2+\sqrt{2}$

3. すべての実数 $x$, ただし $x \neq 4$

4. 解なし

(2) $-3 < a < 5$

(3) $0 < a < 8$

(4) $-4 < x \leq 2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3} \leq x < 3$