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与えられた行列 $A, B, C, I$ に対して、以下の4つの計算をせよ。 1. $A^T B^T$

代数学行列行列の演算転置行列行列の積
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた行列 A,B,C,IA, B, C, I に対して、以下の4つの計算をせよ。

1. $A^T B^T$

2. $(AB)^T$

3. $AI + BI^3$

4. $(BC)^4$

ただし、
A=(−43−21),B=(1−2−32),C=(2231),I=(1001)A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

1. $A^T B^T$ の計算

まず、AA と BB の転置行列を求める。
AT=(−4−231)A^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
BT=(1−3−22)B^T = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
次に、ATA^T と BTB^T の積を計算する。
ATBT=(−4−231)(1−3−22)=((−4)(1)+(−2)(−2)(−4)(−3)+(−2)(2)(3)(1)+(1)(−2)(3)(−3)+(1)(2))=(081−7)A^T B^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4)(1) + (-2)(-2) & (-4)(-3) + (-2)(2) \\ (3)(1) + (1)(-2) & (3)(-3) + (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}

2. $(AB)^T$ の計算

まず、AA と BB の積を計算する。
AB=(−43−21)(1−2−32)=((−4)(1)+(3)(−3)(−4)(−2)+(3)(2)(−2)(1)+(1)(−3)(−2)(−2)+(1)(2))=(−1314−56)AB = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4)(1) + (3)(-3) & (-4)(-2) + (3)(2) \\ (-2)(1) + (1)(-3) & (-2)(-2) + (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & 14 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}
次に、ABAB の転置行列を求める。
(AB)T=(−13−5146)(AB)^T = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ 14 & 6 \end{pmatrix}

3. $AI + BI^3$ の計算

I3=II^3 = I であるから、BI3=BIBI^3 = BI。また、AI=AAI=A, BI=BBI = Bであるから、AI+BI3=A+BAI+BI^3 = A + Bを計算する。
A+B=(−43−21)+(1−2−32)=(−31−53)A + B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}

4. $(BC)^4$ の計算

まず、BCBC を計算する。
BC=(1−2−32)(2231)=((1)(2)+(−2)(3)(1)(2)+(−2)(1)(−3)(2)+(2)(3)(−3)(2)+(2)(1))=(−400−4)BC = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) + (-2)(3) & (1)(2) + (-2)(1) \\ (-3)(2) + (2)(3) & (-3)(2) + (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}
次に、(BC)2=BC⋅BC(BC)^2 = BC \cdot BC を計算する。
(BC)2=(−400−4)(−400−4)=(160016)(BC)^2 = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}
最後に、(BC)4=(BC)2⋅(BC)2(BC)^4 = (BC)^2 \cdot (BC)^2 を計算する。
(BC)4=(160016)(160016)=(25600256)(BC)^4 = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 256 & 0 \\ 0 & 256 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

1. $A^T B^T = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$

2. $(AB)^T = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ 14 & 6 \end{pmatrix}$

3. $AI + BI^3 = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

4. $(BC)^4 = \begin{pmatrix} 256 & 0 \\ 0 & 256 \end{pmatrix}$

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