絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ を考える。 (1) $x$ の範囲によって絶対値を外し、方程式を整理する。 (2) 方程式の解 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) が与えられたとき、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ を考える。

(1) $x$ の範囲によって絶対値を外し、方程式を整理する。

(2) 方程式の解 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) が与えられたとき、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x < 1$ のとき、$|x-1| = 1-x$ かつ $|x-3| = 3-x$ なので、

$x^2 + 3(1-x) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3 - 3x + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 8x + 3 = 0$

したがって、ア = 8, イ = 3

$1 \le x < 3$ のとき、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = 3-x$ なので、

$x^2 + 3(x-1) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

したがって、ウ = 2, エ = 3

$3 \le x$ のとき、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = x-3$ なので、

$x^2 + 3(x-1) + 5(x-3) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 5x - 15 - 15 = 0$

$x^2 + 8x - 33 = 0$

したがって、オ = 8, カキ = 33

それぞれの範囲で方程式の解を求める。

$x < 1$ のとき、$x^2 - 8x + 3 = 0$ を解くと、

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 4 \pm \sqrt{13}$

$x < 1$ の範囲なので、$x = 4 - \sqrt{13} \approx 4 - 3.6 = 0.4$

$1 \le x < 3$ のとき、$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

$1 \le x < 3$ の範囲なので、解なし。

$3 \le x$ のとき、$x^2 + 8x - 33 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot 33}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 132}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-8 \pm 14}{2} = -4 \pm 7$

$x = 3, -11$

$3 \le x$ の範囲なので、$x = 3$

したがって、方程式の解は $x = 4 - \sqrt{13}, 3$

よって、ク = 4, ケコ = 13, サ = 3

(2) $\alpha = 3, \beta = 4 - \sqrt{13}$ となる。

$|\frac{\alpha}{\beta}| = |\frac{3}{4-\sqrt{13}}| = \frac{3}{4-\sqrt{13}} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{(4-\sqrt{13})(4+\sqrt{13})} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{16-13} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{3} = 4+\sqrt{13} \approx 4 + 3.6 = 7.6$

$m \le 4+\sqrt{13} < m+1$ を満たす自然数 $m$ は $m = 7$

したがって、シ = 7

3. 最終的な答え

ア = 8, イ = 3

ウ = 2, エ = 3

オ = 8, カキ = 33

ク = 4, ケコ = 13, サ = 3

シ = 7