与えられた式 $\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)}$ を簡単にする問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)}$ を簡単にする問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を展開します。

$\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)} = \sqrt{5\sqrt{10} - 5}$

次に、二重根号を外すことを考えます。二重根号を外すためには、根号の中身が $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形になるように変形する必要があります。

$\sqrt{5\sqrt{10} - 5} = \sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}}$ と比較すると、$a + b = 5$ かつ $4ab = 250$, すなわち $ab = \frac{125}{2}$ となります。

しかし、$a+b=5$ かつ $ab = \frac{125}{2}$ を満たす実数 $a, b$ は存在しません。したがって、直接二重根号を外すことはできません。

別の方法を試します。

$\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)}$ の二乗を計算します。

$(\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)})^2 = 5(\sqrt{10} - 1)$

ここで、

$\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ と仮定して二乗すると、

$5(\sqrt{10} - 1) = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となります。

すると、$a + b = -5$ かつ $ab = 250$ となり、これは無理があります。

元の式を変形します。

$\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)} = \sqrt{5\sqrt{10} - 5}$

ここで、$5\sqrt{10} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{250}$ であることに注意すると、

$\sqrt{5\sqrt{10} - 5} = \sqrt{\sqrt{250} - 5}$

ここで、

$\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ という公式を利用します。

この場合、$a = 5$, $b = 250$ なので、 $a^2-b = 25 - 250 = -225$ となり、$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{-225}$ となってしまい、実数でなくなってしまいます。

しかし、元の式をよく見ると、これ以上簡単にできなさそうです。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5(\sqrt{10} - 1)}$