(1)から(6)は分母の有理化を行う問題です。(7)と(8)は与えられた式を計算する問題です。

はい、承知いたしました。問題文に示された(1)から(8)の計算問題について、順番に解答します。

1. 問題の内容

(1)から(6)は分母の有理化を行う問題です。(7)と(8)は与えられた式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

分母分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$

まず、分母分子を3で割ります。

$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

分母分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

(3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$

分母分子に$1-\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}) \times (1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1+\sqrt{2} = \sqrt{2}-1$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

分母分子に$2+\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}) \times (2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}+3}{4-3} = \frac{2\sqrt{3}+3}{1} = 3+2\sqrt{3}$

(5) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

分母分子に$\sqrt{3}+\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}) \times (\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5}) \times (\sqrt{3}+\sqrt{5})} = \frac{3+2\sqrt{15}+5}{3-5} = \frac{8+2\sqrt{15}}{-2} = -4-\sqrt{15}$

(6) $\frac{3-2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

分母分子に$2-\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{3-2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(3-2\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})} = \frac{6-3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+6}{4-3} = \frac{12-7\sqrt{3}}{1} = 12-7\sqrt{3}$

(7) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 + 2\sqrt{6}$

足し合わせると、

$5 - 2\sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6} = 10$

(8) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}-5}$

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{6+3\sqrt{6}}{2-3} = -6 - 3\sqrt{6}$

$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}-5} = \frac{2\sqrt{2}(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)} = \frac{6\sqrt{6}+10\sqrt{2}}{27-25} = \frac{6\sqrt{6}+10\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6} + 5\sqrt{2}$

引き算すると、

$-6 - 3\sqrt{6} - (3\sqrt{6} + 5\sqrt{2}) = -6 - 6\sqrt{6} - 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sqrt{10}$

(3) $\sqrt{2}-1$

(4) $3+2\sqrt{3}$

(5) $-4-\sqrt{15}$

(6) $12-7\sqrt{3}$

(7) $10$

(8) $-6 - 6\sqrt{6} - 5\sqrt{2}$