絶対値を含む不等式の整数解に関する問題です。 まず、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求めます。次に、$a > 0$ のとき、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個となるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

絶対値を含む不等式の整数解に関する問題です。

まず、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求めます。次に、$a > 0$ のとき、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を解く。

絶対値の性質から、

$-\frac{13}{3} < x - \frac{1}{3} < \frac{13}{3}$

各辺に $\frac{1}{3}$ を足すと、

$-\frac{13}{3} + \frac{1}{3} < x < \frac{13}{3} + \frac{1}{3}$

$-\frac{12}{3} < x < \frac{14}{3}$

$-4 < x < \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

この範囲の整数 $x$ は、$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ の8個です。

(2) $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ が5個となる $a$ の範囲を求める。

同様に絶対値を外すと、

$-a < x - \frac{1}{3} < a$

各辺に $\frac{1}{3}$ を足すと、

$-a + \frac{1}{3} < x < a + \frac{1}{3}$

この範囲に含まれる整数 $x$ が5個となるような $a$ の範囲を考える。

整数 $x$ が $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ の5個であるとすると、

$n - 1 \le -a + \frac{1}{3} < n$ かつ $n + 4 < a + \frac{1}{3} \le n + 5$

$n \le x < n+5$ となる。$x - 1/3$ の中点は $0$ から、$5$ つの整数が対象になるのは, $n= -2$ の場合、$n = -2,-1,0,1,2$

$-2- \frac{1}{3} < x < 2 + \frac{1}{3}$

$-2.333 < x < 2.333$

$-a + \frac{1}{3} < -2$ かつ $2 < a + \frac{1}{3}$

このとき $a > 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ かつ $a > \frac{7}{3}$ なので、$a > \frac{7}{3}$

$2 < a + \frac{1}{3} \le 3$

$-3 \le -a + \frac{1}{3} < -2$

$3 \ge a > \frac{5}{3}$ かつ $3 \ge a$

$a \le 3 - \frac{1}{3}$

$a \le \frac{8}{3}$

したがって、 $\frac{5}{2} < a \le \frac{5}{2}$.

$|x - \frac{1}{3}| < a$ より、$-a < x-\frac{1}{3} < a$. よって $\frac{1}{3}-a < x < \frac{1}{3}+a$.

$x$ が5個であるので、中央の整数を0とすると、$x = -2, -1, 0, 1, 2$ が含まれる。

$\frac{1}{3} - a < -2$ かつ $2 < \frac{1}{3} + a$.

$\frac{7}{3} < a$ かつ $\frac{5}{3} < a$. よって $\frac{5}{3} < a$.

また $x = -3, 3$ は含まれないので $\frac{1}{3}-a \ge -3$ かつ $3 \ge \frac{1}{3}+a$.

$\frac{10}{3} \ge a$ かつ $\frac{8}{3} \ge a$. よって $a \le \frac{8}{3}$.

したがって $\frac{5}{2} < a \le \frac{8}{3}$.

3. 最終的な答え

ア：8

イ：5

ウ：2

エ：8

オ：3

$\frac{5}{2} < a \le \frac{8}{3}$