複素数平面上に異なる3点 $z, z^2, z^3$ がある。 (1) $z, z^2, z^3$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求めよ。 (2) $z, z^2, z^3$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ の全体を複素数平面上に図示せよ。 また、$z, z^2, z^3$ が正三角形の頂点になるような $z$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に異なる3点 $z, z^2, z^3$ がある。

(1) $z, z^2, z^3$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求めよ。

(2) $z, z^2, z^3$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ の全体を複素数平面上に図示せよ。

また、$z, z^2, z^3$ が正三角形の頂点になるような $z$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z, z^2, z^3$ が同一直線上にある条件は、

$\frac{z^2 - z}{z^3 - z}$ が実数であることと同値である。

$\frac{z^2 - z}{z^3 - z} = \frac{z(z-1)}{z(z^2-1)} = \frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{z+1}$.

$\frac{1}{z+1}$ が実数であるとき、$z+1$ も実数となる。したがって、$z$ の虚部が $0$ である。

つまり、$z$ は実数である。

$z, z^2, z^3$ が異なる点であることから、$z \neq z^2$ かつ $z \neq z^3$ かつ $z^2 \neq z^3$ である必要がある。

これは、$z \neq 0, 1, -1$ であることを意味する。

$z$ が実数のとき、$\frac{z^2-z}{z^3-z}$ は実数になる。

したがって、$z$ は実数であり、$z \neq 0, 1, -1$ である。

(2) $z, z^2, z^3$ が二等辺三角形になる条件は、

$|z - z^2| = |z^2 - z^3|$ または $|z - z^2| = |z - z^3|$ または $|z^2 - z^3| = |z - z^3|$ が成り立つことである。

$|z - z^2| = |z^2 - z^3| \Leftrightarrow |z(1-z)| = |z^2(1-z)| \Leftrightarrow |z| = |z^2|$ または $z=1$.

$|z| = |z^2| \Leftrightarrow |z| = |z|^2 \Leftrightarrow |z|(|z| - 1) = 0$.

$|z| = 0$ は $z = 0$ を意味するが、これは異なる点であるという条件に反する。したがって、$|z| = 1$。

$|z - z^2| = |z - z^3| \Leftrightarrow |z(1-z)| = |z(1-z^2)| \Leftrightarrow |1-z| = |1-z^2| \Leftrightarrow |1-z| = |(1-z)(1+z)|$.

$|1-z| = |(1-z)(1+z)| \Leftrightarrow |1-z|(1 - |1+z|) = 0$.

$|1-z| = 0$ は $z = 1$ を意味するが、異なる点であるという条件に反する。したがって、$|1+z| = 1$. これは、中心が $-1$, 半径が $1$ の円を表す。

$|z^2 - z^3| = |z - z^3| \Leftrightarrow |z^2(1-z)| = |z(1-z^2)| \Leftrightarrow |z||1-z| = |1-z^2| \Leftrightarrow |z||1-z| = |(1-z)(1+z)|$.

$|z||1-z| = |(1-z)(1+z)| \Leftrightarrow |1-z|(|z| - |1+z|) = 0$.

$|1-z| = 0$ は $z = 1$ を意味するが、異なる点であるという条件に反する。したがって、$|z| = |1+z|$.

これは、$0$ と $-1$ を結ぶ線分の垂直二等分線を表す。つまり、$\mathrm{Re}(z) = -\frac{1}{2}$。

$|z|=1$ は原点を中心とする半径1の円、$|z+1|=1$は-1を中心とする半径1の円、$\mathrm{Re}(z) = -1/2$ は実部が-1/2の直線。これらを複素平面上に図示する。

正三角形になるのは $z = e^{\pm i \frac{\pi}{3}}$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $z$ は実数であり、$z \neq 0, 1, -1$ である。

(2) 図示は省略。正三角形の頂点になるのは $z = e^{\pm i \frac{\pi}{3}} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ のとき。