問題は、与えられた集合 A と B について、共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ を求める問題です。問題は3つの小問に分かれています。

代数学集合共通部分和集合集合の演算
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は、与えられた集合 A と B について、共通部分 ABA \cap B と和集合 ABA \cup B を求める問題です。問題は3つの小問に分かれています。

2. 解き方の手順

(1)
集合 A と B はそれぞれ A={2,4,6,8,10}A = \{2, 4, 6, 8, 10\}B={0,1,2,3,4}B = \{0, 1, 2, 3, 4\} です。
共通部分 ABA \cap B は A と B の両方に含まれる要素の集合です。
AB={2,4}A \cap B = \{2, 4\}
和集合 ABA \cup B は A または B に含まれる要素の集合です。
AB={0,1,2,3,4,6,8,10}A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\}
(2)
集合 A は 4x84 \leq x \leq 8 を満たす実数 x の集合、集合 B は 0<x<50 < x < 5 を満たす実数 x の集合です。
共通部分 ABA \cap B4x<54 \leq x < 5 を満たす実数 x の集合です。
AB={x4x<5,xは実数}A \cap B = \{x | 4 \leq x < 5, x は実数\}
和集合 ABA \cup B0<x80 < x \leq 8 を満たす実数 x の集合です。
AB={x0<x8,xは実数}A \cup B = \{x | 0 < x \leq 8, x は実数\}
(3)
集合 A は nn が5以下の自然数 (n=1,2,3,4,5)(n = 1, 2, 3, 4, 5) に対して、2n12n - 1 で表される要素の集合です。
A={2(1)1,2(2)1,2(3)1,2(4)1,2(5)1}={1,3,5,7,9}A = \{2(1)-1, 2(2)-1, 2(3)-1, 2(4)-1, 2(5)-1\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}
集合 B は nn が4以下の自然数 (n=1,2,3,4)(n = 1, 2, 3, 4) に対して、2n2n で表される要素の集合です。
B={2(1),2(2),2(3),2(4)}={2,4,6,8}B = \{2(1), 2(2), 2(3), 2(4)\} = \{2, 4, 6, 8\}
共通部分 ABA \cap B は A と B の両方に含まれる要素の集合です。
AB=A \cap B = \emptyset (空集合)
和集合 ABA \cup B は A または B に含まれる要素の集合です。
AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

3. 最終的な答え

(1)
AB={2,4}A \cap B = \{2, 4\}
AB={0,1,2,3,4,6,8,10}A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\}
(2)
AB={x4x<5,xは実数}A \cap B = \{x | 4 \leq x < 5, x は実数\}
AB={x0<x8,xは実数}A \cup B = \{x | 0 < x \leq 8, x は実数\}
(3)
AB=A \cap B = \emptyset
AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

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