与えられた定義域における以下の関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$) (2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

はい、承知いたしました。問題文に記載されている3つの二次関数について、それぞれの定義域における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定義域における以下の関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$)

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$)

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、定義域の端点と頂点のx座標が定義域に含まれるかどうかを確認し、それらの点におけるy座標を比較して、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$)

平方完成：$y = (x - 2)^2 - 1$

頂点の座標：$(2, -1)$

定義域の端点：$x = -1$, $x = 5$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$x = 5$ のとき $y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

頂点のy座標：$y = -1$

$x = 2$ は $-1 \le x \le 5$ を満たすので、最小値は-1です。

最大値は、$x=-1$と$x=5$の時の$y=8$です。

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$)

平方完成：$y = -3(x + 1)^2 + 8$

頂点の座標：$(-1, 8)$

定義域の端点：$x = -4$, $x = -1$

$x = -4$ のとき $y = -3(-4)^2 - 6(-4) + 5 = -48 + 24 + 5 = -19$

$x = -1$ のとき $y = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$

頂点のy座標：$y = 8$

$x=-1$は $-4 \le x \le -1$ を満たすので、最大値は8です。

最小値は、$x=-4$の時の$y=-19$です。

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

平方完成：$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + 2$

頂点の座標：$(\frac{3}{2}, 2)$

定義域の端点：$x = 1$, $x = 3$

$x = 1$ のとき $y = -(1)^2 + 3(1) - \frac{1}{4} = -1 + 3 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$x = 3$ のとき $y = -(3)^2 + 3(3) - \frac{1}{4} = -9 + 9 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

頂点のy座標：$y = 2$

$x=\frac{3}{2}$は $1 \le x \le 3$ を満たすので、最大値は2です。

最小値は、$x=3$の時の$y=-\frac{1}{4}$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：8 (x = -1, 5)、最小値：-1 (x = 2)

(2) 最大値：8 (x = -1)、最小値：-19 (x = -4)

(3) 最大値：2 (x = 3/2)、最小値：-1/4 (x = 3)