多項式 $A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$ が与えられ、$t = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおく。 (1) $A$ を $t$ の式で表す。 (2) $A$ を因数分解する。 (3) $x=1$, $x=3$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のときの $A$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$ が与えられ、$t = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおく。

(1) $A$ を $t$ の式で表す。

(2) $A$ を因数分解する。

(3) $x=1$, $x=3$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のときの $A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ を $t$ で表す。

$A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$

$A = (x^3 - 3x^2 + 3x)^2 - x^3 - 3x^2 + 3x = t^2 - t$

(2) $A$ を因数分解する。

$A = t^2 - t = (x^3 - 3x^2 + 3x)^2 - (x^3 - 3x^2 + 3x) = (x^3 - 3x^2 + 3x)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x(x^2 - 3x + 3)(x-1)^3$

(3) $x=1$ のとき

$A = 1 \cdot (1 - 3 + 3)(1-1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$x=3$ のとき

$A = 3 \cdot (9 - 9 + 3)(3-1)^3 = 3 \cdot 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 8 = 72$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{2}+1$ のとき

$A = t^2 - t = t(t-1)$

$t = x^3 - 3x^2 + 3x = (\sqrt{2}+1)^3 - 3(\sqrt{2}+1)^2 + 3(\sqrt{2}+1)$

$(\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$(\sqrt{2}+1)^3 = (\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$

$t = 7 + 5\sqrt{2} - 3(3 + 2\sqrt{2}) + 3(\sqrt{2}+1) = 7 + 5\sqrt{2} - 9 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3 = 1 + 2\sqrt{2}$

$A = t(t-1) = (1 + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 4$

3. 最終的な答え

$A = t^2 - t$

$A = x(x^2 - 3x + 3)(x-1)^3$

$x=1$ のとき $A = 0$

$x=3$ のとき $A = 72$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき $A = 4 + 2\sqrt{2}$