与えられた行列を簡約化し、階数を求めます。与えられた行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & -5 & 1 \\ 3 & 1 & -4 & 1 & -1 & 9 \end{pmatrix}$
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた行列を簡約化し、階数を求めます。与えられた行列は次の通りです。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
2 & 1 & -1 & -1 & -3 & 5 \\
1 & 1 & 2 & -1 & -5 & 1 \\
3 & 1 & -4 & 1 & -1 & 9
\end{pmatrix}$
2. 解き方の手順
行列を簡約化するために、行基本変形を行います。
ステップ1: 2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の3倍を引きます。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
0 & -1 & -5 & 3 & 13 & 13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & -2 & -10 & 7 & 23 & 21
\end{pmatrix}$
ステップ2: 2行目に-1を掛けます。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
0 & 1 & 5 & -3 & -13 & -13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & -2 & -10 & 7 & 23 & 21
\end{pmatrix}$
ステップ3: 4行目に2行目の2倍を加えます。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
0 & 1 & 5 & -3 & -13 & -13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & -5
\end{pmatrix}$
ステップ4: 4行目から3行目を引きます。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
0 & 1 & 5 & -3 & -13 & -13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6 & -10
\end{pmatrix}$
ステップ5: 4行目に-1/6を掛けます。
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 & -8 & -4 \\
0 & 1 & 5 & -3 & -13 & -13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5/3
\end{pmatrix}$
ステップ6: 簡約化された階段行列を得ました。行基本変形では階数は変わらないため、元の行列の階数は、簡約化された階段行列のゼロでない行の数に等しくなります。この場合は4です。
3. 最終的な答え
行列の階数は4です。