2次方程式 $2x^2 + ax + b = 0$ について、以下の問題を解く。 (1) 解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求める。 (2) 解の一つが $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ であるとき、もう一つの解と、$a$、$b$ の値を求める。 (3) $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$、シの解答、および -3 を解にもつ3次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + ax + b = 0$ について、以下の問題を解く。

(1) 解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求める。

(2) 解の一つが $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ であるとき、もう一つの解と、$a$、$b$ の値を求める。

(3) $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$、シの解答、および -3 を解にもつ3次方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の2次方程式は $2x^2 + ax + b = 0$ なので、$a=2, b=a, c=b$ となる。

よって、$\alpha + \beta = -\frac{a}{2}$, $\alpha \beta = \frac{b}{2}$

(2) 係数が実数なので、複素数解を持つ場合、共役複素数も解となる。

したがって、もう一つの解は $\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$ である。

解が $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ と $\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$ なので、

$\alpha + \beta = \frac{3-\sqrt{7}i}{4} + \frac{3+\sqrt{7}i}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{3-\sqrt{7}i}{4} \times \frac{3+\sqrt{7}i}{4} = \frac{9 + 7}{16} = \frac{16}{16} = 1$

(1) の結果より、

$\alpha + \beta = -\frac{a}{2} = \frac{3}{2} \implies a = -3$

$\alpha \beta = \frac{b}{2} = 1 \implies b = 2$

(3) 解が $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$, $\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$, -3 なので、3次方程式は

$2(x - \frac{3-\sqrt{7}i}{4})(x - \frac{3+\sqrt{7}i}{4})(x + 3) = 0$

$2(x^2 - (\frac{3-\sqrt{7}i}{4} + \frac{3+\sqrt{7}i}{4})x + \frac{3-\sqrt{7}i}{4} \times \frac{3+\sqrt{7}i}{4})(x + 3) = 0$

$2(x^2 - \frac{3}{2}x + 1)(x + 3) = 0$

$2(x^3 + 3x^2 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x + x + 3) = 0$

$2(x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 3) = 0$

$2x^3 + 3x^2 - 7x + 6 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -\frac{a}{2}$, $\alpha \beta = \frac{b}{2}$

コ：1、サ：4

(2) もう一つの解：$\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$

シ：0

$a = -3$

スセ：-3

$b = 2$

ソ：2

(3) $2x^3 + 3x^2 - 7x + 6 = 0$

タ：3

チ：7

ツ：6