与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算するために、1行目を使って余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 3 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 4 \\

-3 & 1 & 5 & 4 \\

4 & 8 & 6 & -5

\end{vmatrix} = 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13} -1 \cdot A_{14}

$$

ここで、$A_{ij}$は$i$行$j$列の余因子を表します。

$$

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & -5 \end{vmatrix} = 1(-25-24) - 2(-5-32) + 4(6-40) = -49 + 74 - 136 = -111

$$

$$

A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & -5 \end{vmatrix} = 0 - 1(15-16) + 4(-24-4) = 1 - 112 = -111

$$

$$

A_{14} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 4 & 8 & 6 \end{vmatrix} = 0 - 1(-18-20) + 2(-24-4) = 38 - 56 = -18

$$

したがって、行列式は

$$

1 \cdot (-111) + 0 \cdot A_{12} + 3 \cdot (-111) - 1 \cdot (-18) = -111 - 333 + 18 = -426

$$

(2)

行列式を計算します。4列目に注目すると、0でない要素が1つだけなので、4列目で展開すると

$$

\begin{vmatrix}

3 & -3 & -6 & 0 & 5 \\

7 & 5 & 1 & 4 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\

0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\

0 & 0 & 3 & -1 & -2

\end{vmatrix}

= -4

\begin{vmatrix}

3 & -3 & -6 & 5 \\

0 & 0 & 4 & 3 \\

0 & 0 & 8 & 6 \\

0 & 0 & 3 & -2

\end{vmatrix}

= -4 \cdot 3(-1)\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = -4(0) = 0

$$

3行目と4行目が比例関係にあるため、行列式は0です。

(3)

行列式を計算します。1列目で展開すると

$$

\begin{vmatrix}

3 & -3 & -6 & 4 & 0 \\

0 & 5 & 1 & -2 & 0 \\

-1 & 7 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\

0 & 0 & 3 & 0 & -2

\end{vmatrix} =

3 \begin{vmatrix} 5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}

- (-1)

\begin{vmatrix} -3 & -6 & 4 & 0 \\ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}

$$

$$

= 3 \cdot 5 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 8 & 0 & 6 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}

+ \begin{vmatrix} -3 & -6 & 4 & 0 \\ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}

= 15 [0 - 1(-16-18) + 3(0-24)] + (-6)\begin{vmatrix} 5 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}

= 15(34-72) -6(0)

= 15(-38) = -570

$$

(4)

行列式を計算します。1列目で展開すると

$$

\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \\ -3 & 6 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & -5 \end{vmatrix}

= -(-3)

\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix}

+ 3

\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix}

$$

$$

= 3 (0 - 2(0-8) + 5(0)) + 3 (0-2(0-24) + 5(0)

= 3(16) + 3(48) = 48 + 144 = 192

$$

3. 最終的な答え

(1) -426

(2) 0

(3) -570

(4) 192