問題は以下の通りです。 (1) $(x-2)^2$ を展開したときの $x$ の係数を求める。 (2) 多項式 $x^3 + 4x^2 - 3x + 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-8x-5$ である。このとき、$A$ を選択肢の中から選ぶ。 (3) $a>0$, $b>0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を用いて、最小値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $(x-2)^2$ を展開したときの $x$ の係数を求める。

(2) 多項式 $x^3 + 4x^2 - 3x + 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-8x-5$ である。このとき、$A$ を選択肢の中から選ぶ。

(3) $a>0$, $b>0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を用いて、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ なので、$x$ の係数は $-4$ である。

(2) 割り算の関係から、以下の式が成り立つ。

$x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = A(x+3) + (-8x-5)$

$A(x+3) = x^3 + 4x^2 - 3x + 1 + 8x + 5$

$A(x+3) = x^3 + 4x^2 + 5x + 6$

$A = \frac{x^3 + 4x^2 + 5x + 6}{x+3}$

筆算を行うと

$A = x^2 + x + 2$

これは選択肢の 0 にあたる。

(3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + 4 + \frac{1}{b}b + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

相加平均・相乗平均の関係より、$ab + \frac{4}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

よって、 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \geq 4 + 5 = 9$

等号成立は $ab = \frac{4}{ab}$ のとき、つまり $ab^2 = 4$ のとき。

$ab=2$

最小値は $9$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x$ の係数: $-4$

(2) $A$: 0

(3) 展開後の式: $ab + \frac{4}{ab} + 5$、$ab=2$ のとき、最小値 $9$ をとる。