与えられた5x5行列の行列式を計算する。 行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$
2025/7/9
## (8) の問題
1. 問題の内容
与えられた5x5行列の行列式を計算する。
行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\
0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\
8 & 1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
まず、1列目で余因子展開します。これにより、(5,1)成分の8以外の成分が0であるため、展開は簡単になります。
$8 \times \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 5 \\
13 & -2 & 0 & -4 \\
-6 & 1 & 2 & 2
\end{vmatrix}$
次に、1行目で余因子展開します。これにより、(1,4)成分の3以外の成分が0であるため、展開は簡単になります。
$8 \times 3 \times \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
13 & -2 & 0 \\
-6 & 1 & 2
\end{vmatrix}$
これは下三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。
3. 最終的な答え
-192
## (10) の問題
1. 問題の内容
与えられたn次行列の行列式を計算する。
行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
この行列は、単位行列の行を反転させたものです。
行の入れ替えは、行列式の符号を反転させます。
単位行列の行列式は1です。
必要な行の入れ替えの回数は、nが偶数の場合、n/2回、nが奇数の場合、(n-1)/2回です。
入れ替え回数がk回のとき、行列式は で与えられます。
kは、行列のサイズnによって異なります。
詳細には、この行列の行列式は となります。
3. 最終的な答え
## (11) の問題
1. 問題の内容
与えられた5x5行列の行列式を計算する。
行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -2 & 0 & 0
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
4行目から1行目の2倍、2行目の1倍、3行目の3倍を引きます。
5行目から1行目の1倍、2行目の1倍、3行目の-2倍を引きます。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}$
この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。
3. 最終的な答え
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