与えられた分数の式を計算し、簡約化する問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算し、簡約化する問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

分子を展開すると:

$(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \times 3} = 8 - 2(2\sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3}$

分母を展開すると:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4}$

分子と分母を4で割ると、簡約化された式が得られます。

$\frac{8}{4} - \frac{4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$