与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第1列に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41} + 8 \cdot C_{51}$

ここで、$C_{51}$は(5,1)成分の余因子です。つまり、

$C_{51} = (-1)^{5+1} \begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix}$

次に、この4x4行列式を第1行について余因子展開します。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix} = 0 \cdot C'_{11} + 0 \cdot C'_{12} + 0 \cdot C'_{13} + 3 \cdot C'_{14}$

ここで、$C'_{14}$は(1,4)成分の余因子です。つまり、

$C'_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

13 & -2 & 0 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix}$

これは下三角行列なので、行列式は対角成分の積となります。

$\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

13 & -2 & 0 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) \cdot 2 = -8$

したがって、$C'_{14} = (-1)^{5}(-8) = 8$

元の4x4行列式は、$3 \cdot C'_{14} = 3 \cdot 8 = 24$となります。

$C_{51} = 1 \cdot 24 = 24$

したがって、元の5x5行列式は、$8 \cdot C_{51} = 8 \cdot 24 = 192$となります。

3. 最終的な答え

192